Aquiles el puntito y su definición matemática

La entrada de hoy la voy a empezar con un cuento, ya que hoy voy a hablar de matemáticas y son mis posts menos leídos, pues lo voy a aderezar un poquito. La verdad, es que os voy a contar como empieza el cuento porque me viene al pelo…

El cuento se titula «Aquiles el puntito», habla sobre un punto que es muy inquieto y empieza a transformarse en otros elementos que le permiten explorar el mundo. En cuestión lo que me interesa es la primera página para lo que os voy a contar hoy:

«Al principio, en el medio de una hoja blanca sin dibujos ni marcas, había un puntito. Era claro, casi transparente. El sol lo atravesaba como un espejo de agua…»

Ya os dejé la pregunta en mi última entrada, ¿os habéis planteado alguna vez qué es un punto? Pues creo que la cita anterior lo deja meridianamente claro… es algo tan, tan, taaaaaaaaaan pequeño que físicamente no existe, solo tiene sentido matemáticamente. Y es que cuando dibujamos un punto, no estamos dibujando un punto (por muy finito que lo hagamos), estamos dibujando una circunferencia, de radio muy pequeño, pero una circunferencia.

¿Y si esa circunferencia se acerca a un borde?, mirad por que estados pasa circunferencia… si empezamos en el interior de nuestro recinto limitado, el circulo pasará a ser tangente, luego secante, posteriormente otra vez tangente y por último se encontrará en el exterior.

Ahora bien y entonces, ¿qué diferencia hay con los estados de un punto? Recordemos la cita inicial, el puntito es claro, transparente, el sol lo atraviesa como un espejo de agua… es decir, tiene un tamaño irrelevante por lo que si planteamos el mismo esquema que antes, perdemos los dos estados de tangencia. Si amigos así de pequeño es… es tan minúsculo que se acerca, se acerca y se acerca al borde del conjunto y pasa de estar dentro a estar en el borde, sin más.

Seamos rigurosos ya entonces, matemáticamente hablando, lo que hemos descrito en la primera figura es lo que se denomina como una bola abierta. Una bola abierta de centro «a» y radio ε, es un conjunto de puntos que están a la misma distancia del centro excluyendo al contorno del conjunto.

La bola abierta, es el elemento matemático que utilizamos para definir la posición de un punto dentro de un conjunto, de tal manera que:

• Si la bola abierta de centro «a» y radio ε está contenida dentro del conjunto, a ese punto le llamaremos interior.
• Si la bola abierta de centro «a» y radio ε está contenida en el conjunto complementario, a ese punto le llamaremos exterior.
• Si la bola abierta de centro «a» y radio ε está contenida en el conjunto y en el complementario a la vez, estaremos hablando de un punto frontera.

A esta parte de las matemáticas se le denomina topología, y es muy útil aunque no lo parezca, ya que simplemente, en el estudio de continuidad de las funciones en muchos casos no es necesario aplicar la definición teórica, ya que una función en cualquier punto interior de su dominio es continua. Es pura lógica aplastante, si una función continua, es una función que podemos dibujar sin levantar el lápiz, está claro que todos los puntos que dibuje con mi lápiz (puntos interiores), la función va a ser continua por definición.

También esta parte de las matemáticas, y ya nos metemos en la ingeniería, no exactamente, pero es por donde se empieza a formular el método de los elementos finitos, tanto en su formulación débil como en su formulación fuerte. Digo no exactamente porque el enunciado del método empieza con un poquito de teoría de conjuntos.

Y esto es todo lo que os quería contar hoy y a lo que nos acercamos en la entrada de la carga puntual, como algo tan ínfimamente pequeño puede llegar a ser tan potente como es el punto.

Gracias por vuestra lectura como siempre.