Postproceso, otro paso más en el análisis mediante elementos finitos


Seguimos con la serie de posts sobre el Método de los Elementos Finitos, esta vez toca el POSTPROCESO, una parte más teórica y menos ilustrativa, como se suele decir, más dura, pero sin ninguna duda muchísimo menos que la parte que trataría sobre el cálculo, la cual no se va a tratar porque me resulta difícil realizar un resumen en 1000 o 1500 palabras sobre tema.

Si nos remitimos al segundo post de la serie, nos daremos cuenta de que el análisis por MEF, constaba de 3 pasos: preproceso, cálculo y postproceso. Viendo esto podemos pensar que el postproceso es el último paso en el análisis de la pieza, pero en mi opinión no lo es, en mi opinión aún queda un paso más, si cabe el más importante, y es la interpretación de resultados por parte del técnico que está realizando la valoración.

El cálculo proporciona valores de cierto conjunto de funciones en los nodos de la malla que define la discretización, en el postproceso se calculan magnitudes derivadas de los valores obtenidos para los nodos, y en ocasiones se aplican operaciones de suavizado, interpolación e incluso determinación de errores de aproximación.

Actualmente, el MEF es usado para calcular problemas tan complejos, que los ficheros que se generan como resultado del MEF tienen tal cantidad de datos que resulta conveniente procesarlos de alguna manera adicional para hacerlos más comprensible e ilustrar diferentes aspectos del problema. En la etapa de post-proceso los resultados obtenidos de la resolución del sistema son tratados, para obtener representaciones gráficas y obtener magnitudes derivadas, que permitan extraer conclusiones del problema.

EVALUACIÓN DEL ERROR EN PROBLEMAS DE ELASTICIDAD

Es una parte imprescindible en un análisis con MEF. Para un problema real, el error exacto no se puede obtener, salvo en casos especiales, pero existen algunos procedimientos que permiten hacer una estimación del erro para determinar la calidad de la solución. Los errores en la solución de un problema de elasticidad se pueden clasificar como:

  • Errores de modelado.
  • Errores de discretización.
  • Errores en el cálculo de las integrales del elemento.
  • Errores en la solución del sistema de ecuaciones.
  • Errores asociados a la ecuación constitutiva.

Suponiendo una buena aproximación del modelo físico y con el empleo de los sistemas modernos, el error predominante en la solución de un problema utilizando el MEF es el error de discretización.

Con el MEF se pueden obtener soluciones con mucha precisión siempre y cuando tenga un número relativamente grande de gdl, sin embargo se debe considerar que, por un lado, los mismos datos o hipótesis del problema son imprecisos y esta imprecisión es heredada por la solución y por otro lado, que el costo de una solución con el MEF se incrementa al aumentar el número de gdl. No tiene sentido pues buscar una solución con una precisión mayor que la que puedan ofrecer los datos e hipótesis simplificativas del problema siendo lo más razonable, por razones de disminución de costos, solucionar el problema empleando un modelo con pocos gdl pero que represente satisfactoriamente el problema y buscar una forma de estimar el error en la solución. Si el error estimado es mayor que un valor permisible se representa el modelo empleando un mayor número de gdl y se soluciona de nuevo el problema hasta lograr una precisión mejor o igual a la deseada.

Lo más prácticos es medir los errores utilizando una norma de erro en términos de una magnitud escalar. Con una norma del error se calcula, en cierta forma, un valor promediado de las magnitudes de los errores en todo el dominio. Se puede calcular en forma absoluta o en forma relativa. En problemas de elasticidad se utiliza ampliamente la norma energética.

Norma energética del error

Está definida como la raíz cuadrada de la energía de deformación del error. La expresión analítica para la evaluación del error absoluto en esta norma es:

La norma energética posee una propiedad muy interesante que permite estimar la energía de deformación exacta a partir de la energía de deformación obtenida:

Que establece que la energía de deformación exacta se puede calcular sumando la energía de deformación obtenida mediante el cálculo por EF y la energía de deformación del error.

La afirmación anterior se cumple con más precisión a medida que los errores van haciéndose más pequeños, es decir cuando se incrementa el número de gdl del problema.

Norma L2

Representa la longitud euclidiana del campo de errores o el valor cuadrático medio del error. El valor del error en esta norma en forma absoluta y considerando desplazamientos se obtiene con la expresión:

 

O si consideramos tensiones:

 

Siendo la raíz cuadrada media del error:

 

Las anteriores expresiones se pueden particularizar sobre un elemento (o un conjunto de elementos) para obtener una medida integral del error local. Con estas normas, la relación entre el error global y los errores locales viene dada por un sumatorio.

 

CRITERIOS DE CALIDAD DE LOS RESULTADOS

Definimos la norma energética del error relativo como:

 

Donde es la norma energética del error en tensiones y donde es el valor de la norma energética en tensiones. Se recomienda que la norma energética del error relativo no sea superior al 5%.

Condición de malla óptima

La distribución de elementos en la malla ha de satisfacer un “criterio de malla óptima”, estableciéndose un valor requerido de la norma del error del elemento que puede definirse como (equidistribución del error global):

 

El criterio de malla óptima vendrá determinado por la expresión:

 

ESTIMADORES DE ERROR PARA ANÁLISIS LINEAL

La mayor parte de los estimadores están enfocados a problemas estáticos donde la tendencia es a utilizar estimadores del error a posteriori que permitan evaluar los errores a nivel de elemento (Zhong, 1991). En otras aplicaciones el problema ha sido menos tratado y existe poca información sobre la forma de estimar los errores, pero en algunos casos pueden utilizarse los estimadores del error del problema estático.

Extrapolación de Richardson (Zienkiewicz y Morgan, 1983)

Este método comprende las siguientes etapas:

  • Selección de una ley de convergencia empírica, como por ejemplo:

 

Donde N, es el número de grados de liberta; C es una constante a determinar experimentalmente; α es la velocidad de convergencia del error total; Uex es la energía de deformación exacta y Uef es la energía de deformación de la solución del MEF.

  • Efectuar una serie de análisis de elementos finitos.
  • Determinar la velocidad de convergencia por vía teórica o numérica:

Por vía teórica:

 

Donde d, es la dimensión espacial del problema y p es el grado del polinomio de aproximación de elementos finitos. Por vía numérica resolviendo la siguiente ecuación:

 

  • Determinar la constante C por medio de la fórmula:

 

  • Estimar la energía total exacta por medio de la ecuación:

 

Para obtener buenos resultados es conveniente tomar las siguientes precauciones:

  • Es preferible utilizar una serie de mallas sucesivamente refinadas de forma uniforme a partir de un remallado inicial, con el fin de que la energía de deformación calculada mediante el MEF se ajuste mejor a la ley empírica.
  • Conviene utilizar la velocidad de convergencia calculada numéricamente.
  • Para el cálculo de α, C y U, es preferible utilizar resultados del MEF correspondientes a los últimos mallados de la serie.
  • Las mallas no deben ser excesivamente refinadas ya que en este caso podrían aparecer otras fuentes de error que podrían falsear los resultados.

Algunos de los inconvenientes de este planteamiento son:

  • Se debe asegurar que la ley de convergencia seleccionada es válida para el sistema en concreto que se quiere analizar, lo cual es difícil de juzgar en muchas ocasiones.
  • Son necesarios al menos dos análisis para calcular el error.
  • No se puede calcular el error a nivel de elemento.
  • No se puede aplicar a modelos híbridos.

Este método para la estimación del error de discretización se usa a veces para evaluar la fiabilidad de los estimadores de error, a posteriori, aplicados a problemas donde la solución exacta es desconocida.

Estimadores residuales (Babuška y Rheinboldt, 1978)

Estos estimadores están basados en el cálculo de residuos de la solución de EF y pueden ser de tres tipos:

  • Residuo de equilibrio en el elemento, r.
  • Residuo o salto de tensiones en las interfaces entre elementos, J.
  • Residuo o salto de tensiones en el contorno, G.

A finales de los 70, Babuška, (1978 y 1982), demostró matemáticamente que existe una relación entre el error en el elemento y el residuo del equilibrio en el elemento, r, en el caso de problemas de transferencia de calor.

Gago (1983), aplicó la idea de Babuška y estima el valor del error a través de los saltos de tensiones en las interfaces entre elementos J, proponiendo una fórmula para elementos d grado mayor que 2 en problemas de elasticidad 2D. Existen también expresiones análogas para estimar errores utilizando el residuo de la tensiones en el contorno G.

Estos estimadores son reglas empíricas que no se pueden demostrar matemáticamente y que además no son demasiado fiables.

Estimadores de error basados en la mejora de la solución de EF

Un método completamente diferente a los descritos anteriormente para calcular el error a posteriori está basado en la idea de conseguir una mejor aproximación a la solución exacta, a partir de la solución obtenida por el MEF y así calcular su diferencia como una estimación del error exacto.

El método más utilizado para definir este campo mejorado, es hacerlo a partir del valor de las tensiones mejoradas en los nodos e interpolando a nivel de elemento:

 

Donde Ni, es la función de forma del nodo usada en la interpolación de desplazamientos de elementos finitos. Una vez obtenido el campo el error a nivel global o a nivel de elemento se calcula mediante una norma del error.

Estimador Z2 (Zienkiewicz – Zhu)

Este estimador está basado en la mejor de la solución del MEF. La idea básica de este estimador consiste en utilizar la expresión del error en la norma energética, en lugar del campo de tensiones exacto, que es desconocido, un campo de tensiones mejorado obtenido a partir del campo de tensiones del MEF. El estimador Z2, ees, tiene la forma:

 

Donde C es la matriz de constantes elásticas. El error estimado relativo ηes, se obtiene sustituyendo el error exacto por el estimador de Zienkiewicz y Zhu y la energía de deformación exacta por la energía estimada:

 

Donde es una estimación de la energía de deformación mejor que la obtenida con el MEF, que se puede obtener aprovechando las propiedades de la norma energética:

 Este estimador se puede aplicar también elemento por elemento aplicando la misma formulación descrita en apartados anteriores. Los desplazamientos se aproximan mejor en los nodos del elemento, independientemente del orden del elemento. Los gradientes de los desplazamientos se aproximan mejor en los puntos de Gauss interiores del elemento. En estos puntos interiores, la convergencia del gradiente de la función es un orden superior б(hp+1) a la que proporciona la aproximación polinomial б(hp).

Estos puntos de Gauss interiores del elemento también denominados de superconvergencia serán donde se obtienen los valores de tensiones de los nodos alisados.

El nuevo campo de tensiones hereda las propiedades de exactitud de los puntos de superconvergencia.

Si las tensiones suavizadas convergen a la solución real a una velocidad mayor que la solución dada por los elementos finitos, entonces el error estimado converge al error real.

Vuelvo a reiterarme como en anteriores post con la bibliografía, por eso os remito a la siguiente entrada que es la que engloba toda la bibliografía de estos post sobre el MEF, pero si hay que ser más exacto, en esta entrada la mayoría de los datos están sacados de los dos últimos puntos. Como siempre espero que os haya gustado y os haya resultado interesante, aunque doy fe de la dureza de la entrada de hoy, y como siempre también espero vuestros comentarios sobre lo que os parece.

SALUDOS AMIGOS!!

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