¿A quién se le ocurrió el M.E.F?, ¿quién estaba tan realmente aburrido o loco para que se le ocurriera algo así?


Aunque el nombre del MEF se ha establecido recientemente, el concepto se ha usado desde hace varios siglos. El empleo de métodos de discretizado espacial y temporal y la aproximación numérica para encontrar soluciones a problemas ingenieriles o físicos es conocido desde antiguo. El concepto de “elementos finitos” parte de esa idea.

Para encontrar vestigios de este tipo de cálculos podríamos remontarnos a la época de la construcción las pirámides egipcias. Los egipcios empleaban métodos de discretizado para determinar el volumen de las pirámides. Arquímedes (287-212 a.C.) empleaba el mismo método para calcular el volumen de todo tipo de sólidos o la superficie de áreas. En oriente también aparecen métodos de aproximación para realizar cálculos. Así el matemático chino Lui Hui (300 d.C.) empleaba un polígono regular de 3072 lados para calcular longitudes de circunferencias con lo que conseguía una aproximación al número Pi de 3.1416.

El desarrollo de los elementos finitos tal y como se conocen hoy en día ha estado ligado al cálculo estructural fundamentalmente en el campo aeroespacial. En los años 40 Courant propone la utilización de funciones polinómicas para la formulación de problemas elásticos en subregiones triangulares, como un método especial del método variacional de Rayleigh-Ritz para aproximar soluciones.

Fueron Turner, Clough, Martin y Topp quienes presentaron el MEF en la forma aceptada hoy en día. En su trabajo introdujeron la aplicación de elementos finitos simples (barras y placas triangulares con cargas en su plano) al análisis de estructuras aeronáuticas, utilizando los conceptos de discretizado y funciones de forma.

El trabajo de revisión de Oden presenta algunas de las contribuciones matemáticas importantes al MEF. Los libros de Przemieniecki y de Zienkiewicz y Holister presentan el MEF en su aplicación al análisis estructural. El libro de Zienkiewicz y Cheung o Zienkiewicz y Taylor presenta una interpretación amplia del MEF y su aplicación a cualquier problema de campos. En él se demuestra que las ecuaciones de los EF pueden obtenerse utilizando un método de aproximación de pesos residuales, tal como el método de Galerkin o el de mínimos cuadrados. Esta visión del problema difundió un gran interés entre los matemáticos para la solución de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales mediante el MEF, que ha producido una gran cantidad de publicaciones hasta tal punto que hoy en día el MEF está considerado como una de las herramientas más potentes y probadas para la solución de problemas de ingeniería y ciencia aplicada.

 OPERATIVA DEL M.E.F

El MEF convierte un problema definido en términos de ecuaciones diferenciales en un problema en forma matricial que proporciona el resultado correcto para un número de finito de puntos e interpola posteriormente la solución al resto del dominio, resultando finalmente sólo una solución aproximada. El conjunto de puntos donde la solución es exacta se denomina conjunto nodos. Dicho conjunto de nodos forma una red, denominada malla formada por retículos. Cada uno de los retículos contenidos en dicha malla es un “elemento finito”. El conjunto de nodos se obtiene dividiendo o discretizando la estructura en elementos de forma variada (pueden ser superficies, volúmenes y barras).

Desde el punto de vista de la programación algorítmica modular las tareas necesarias para llevar a cabo un cálculo mediante un programa MEF se dividen en:

  • Preproceso, que consiste en la definición de geometría, generación de la malla, las condiciones de contorno y asignación de propiedades a los materiales y otras propiedades. En ocasiones existen operaciones cosméticas de regularización de la malla y precondicionamiento para garantizar una mejor aproximación o una mejor convergencia del cálculo.
  • Cálculo, el resultado del preproceso, en un problema simple no-dependiente del tiempo, permite generar un conjunto de N ecuaciones y N incógnitas, que puede ser resuelto con cualquier algoritmo para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Cuando el problema a tratar es un problema no-lineal o un problema dependiente del tiempo a veces el cálculo consiste en una sucesión finita de sistemas de N ecuaciones y N incógnitas que deben resolverse uno a continuación de otro, y cuya entrada depende del resultado del paso anterior.
  • Postproceso, el cálculo proporciona valores de cierto conjunto de funciones en los nodos de la malla que define la discretización, en el postproceso se calculan magnitudes derivadas de los valores obtenidos para los nodos, y en ocasiones se aplican operaciones de suavizado, interpolación e incluso determinación de errores de aproximación.

Como siempre, espero vuestros comentarios, tanto los malos como los buenos, que  siempre se puede aprender, espero que os guste y que sigáis leyendo y apoyando este humilde blog de culturilla general ingenieril.

SALUDOS BLOGUEROS!!!

A petición de un lector, a continuación pongo la bibliografía utilizada. Gran parte es un trozo de un artículo de wikipedia muy interesante que os recomiendo leer, además os pongo más para los que os sintáis interesados en el tema:

  • Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations, Bulletin of American Mathematical Society”, 49, 1-43. 1943.
  • Stifness and deflection analysis of complex structures”. Journal of Aeronautical Sciences, 23, 805-824. 1956.
  • Some aspects of recent contributions to the mathematical theory of finite elements”. Advances in Computational Methods in Structural Mechanics and Design, University of Alabama Press, Huntsville. 1972.
  • Theory of Matrix Structural Analysis”, Mc GRaw-Hill, New York. 1968.
  • Stress Analysis”, John Wiley, London. 1966.
  • The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics”, Mc Graw-Hill, London. 1967.
  • El método de los Elementos Finitos”. Mc Graw-Hill. CIMNE. Barcelona .1994.
  • Error en la solución de problemas de elasticidad con el método de los elementos finitos” Jorge Luis Restrepo. Revista Universidad EAFIT. Julio – Agosto – Septiembre de 1998.
  • Método de los elementos finitos. Preproceso y postproceso de los resultados”, Sergio Blanco. Transparencias de la asignatura MEF del Máster en Ingeniería de Estructuras, Cimentaciones y Materiales.
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8 Respuestas a “¿A quién se le ocurrió el M.E.F?, ¿quién estaba tan realmente aburrido o loco para que se le ocurriera algo así?

  1. Hola José, tienes ejemplos de aplicación practica, tipo ejercicios o similar del cálculo con elementos finitos.

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    • Mmmmm, si pero no, jejejeje, me explico, es que si te refieres a ejercicio practico como un enunciado que te diga: calcule la flexión de una viga… o calcule la distribución de temperaturas de una pieza… pues eso no tengo, además luego la entrada de datos en cada programa es distinta y si yo te paso un ejemplo que tengo de una presa calculada con FEAP probablemente no te sirva de nada, no se si me explico.
      Porque, ¿que es lo que necesitas o que quieres hacer con esos ejercicios prácticos? Lo digo por si te puedo ayudar…

      Un saludo y mil gracias por tu lectura.

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