M.E.F. Método de los elementos finitos, ¿pero esto que eeeeeeeeeeeeeeees? – Edición agenda AYRI11 año 2013


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He actualizado esta entrada con lo expuesto en las notas técnicas de la agenda AYRI11. Gracias a Javier García Gerpe, editor de la agenda, por darme la oportunidad de darme a conocer en su asociación y a Jaime Martínez Verdú por ponernos en contacto, y por supuesto por leer mi blog.

Por fin estoy aquí, ya he vuelto, repleto de ganas, a tope de energía y con la necesidad de escribir sobre cosas que os puedan resultar interesantes; siempre desde un punto de vista muy básico y hablado de forma llana para que todo el mundo lo podamos entender, pues el fin de este blog es acercar la ingeniería a todo el mundo.

En mi ausencia del mundo bloguero durante gran parte de esta primavera he estado estudiando (sí, otra vez) y terminando todos los cursos que tenía pendiente, casi todos con una fuerte componente matemática, por lo que hoy he decidido escribir sobre el método de los elementos finitos. Nada complicado, un poquito del estado del arte y que se hace hoy por hoy con este método que tantas suspicacias levanta en las escuelas de ingeniería (el chiste siempre es: ¿qué tal llevas la teoría de los elementos “gorditos”?). Bueno, al turrón.

En la ingeniería actual, el modelado sólido se ha convertido en una herramienta básica. Los grandes desarrollos de producto comienzan con una idea sencilla que puede comenzar en un trozo de papel en sucio, una servilleta en un bar durante el desayuno,… pero sin ninguna duda, el 90% de los proyectos acaban pasando por un modelado sólido.

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Uno de los factores que influyen directamente en la productividad es el uso de sistemas automatizados de diseño. Es vital tener un buen conjunto de herramientas de diseño y cálculo integradas, que permitan procesos de desarrollo paralelos a las diferentes áreas implicadas en el proyecto.

De esta forma el modelado sólido constituye un pilar fundamental del entorno de diseño de un producto. Los modeladores sólidos aportan grandes ventajas para representar informáticamente la réplica exacta de un modelo físico: se puede manipular, ensayar y simular el funcionamiento del producto por lo que constituye una herramienta muy valiosa para los ingenieros de diseño y fabricación.

El Método de los Elementos Finitos (de aquí en adelante MEF) permite obtener una solución numérica aproximada de problemas reales aplicados sobre un medio continuo, sobre el cual se definen ciertas ecuaciones diferenciales en forma débil o fuerte que caracterizan dicho medio físicamente. El continuo se divide en un número “n” de subdominios no intersectantes entre sí, denominados «elementos finitos». El conjunto de elementos finitos formarán las llamadas discretizaciones del dominio.

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Dentro de cada elemento se distinguen una serie de puntos representativos llamados «nodos». Dos nodos son adyacentes si pertenecen al mismo elemento finito; además, un nodo sobre la frontera de un elemento finito puede pertenecer a varios elementos. El conjunto de nodos considerando sus relaciones de adyacencia se llama «malla».

La generación de la malla se realiza usualmente con programas especiales llamados generadores de mallas. En la actualidad, la mayoría de los programas de cálculo por el método de los elementos finitos, implementan sus propios códigos y algoritmos de mallado. A esta fase del proceso se la denomina “pre-proceso”.

En cada nodo de la malla, se definen los grados de libertad, que son los desplazamientos compatibles de acuerdo con las relaciones de adyacencia o conectividad en esos puntos. El conjunto de relaciones del valor de una determinada variable entre los nodos se puede escribir en forma de sistema de ecuaciones lineales. La matriz de dicho sistema de ecuaciones se llama matriz de rigidez del sistema, siendo el número de ecuaciones de dicho sistema  proporcional al número de nodos.

Una importante propiedad del método es la convergencia. Al refinar la malla, es decir al hacer elementos finitos más pequeños, la solución tiende hacia la teórica solución exacta, la cual, generalmente, no se conoce. Para garantizar la convergencia, a las ecuaciones del sistema se les impone unos criterios que garantizan la tendencia hacia la solución real.

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El análisis por elementos finitos se computa de forma genérica en el campo de los desplazamientos, a lo que denominaremos fase de cálculo. En una fase posterior denominada post-proceso, mediante relaciones cinemáticas y ecuaciones constitutivas de los materiales que componen el medio continuo, se generan los campos de tensiones y deformaciones cuando se trata de problemas de mecánica de sólidos deformables.

La bondad de este método reside en su generalidad y en la facilidad de introducir dominios de cálculo en 2 y 3 dimensiones. Esta generalidad permite adaptar el método a problemas de diversa índole en los cuales resulta complejo encontrar su solución analítica de forma más o menos sencilla, como son problemas de transmisión de calor, mecánica de fluidos, campos electromagnéticos,… en estos casos, el método de los elementos finitos se convierte en la única alternativa práctica para el cálculo.

La combinación de las técnicas de diseño con esta herramienta de cálculo, han confluido en valiosísimas y potentísimas herramientas informáticas que están presentes en innumerables campos de la ingeniería

Se me acaba de ocurrir cual puede ser la siguiente entrada, ¿quizás un poquito de historia del método?. Espero que os haya gustado amigos, estoy ansioso por leer vuestros comentarios.  SALUDOS.

TEXTOS RECOMENDADOS:

  • Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations, Bulletin of American Mathematical Society”, 49, 1-43. 1943.
  • Stifness and deflection analysis of complex structures”. Journal of Aeronautical Sciences, 23, 805-824. 1956.
  • Some aspects of recent contributions to the mathematical theory of finite elements”. Advances in Computational Methods in Structural Mechanics and Design, University of Alabama Press, Huntsville. 1972.
  • Theory of Matrix Structural Analysis”, Mc GRaw-Hill, New York. 1968.
  • Stress Analysis”, John Wiley, London. 1966.
  • The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics”, Mc Graw-Hill, London. 1967.
  • El método de los Elementos Finitos”. Mc Graw-Hill. CIMNE. Barcelona .1994.
  • Error en la solución de problemas de elasticidad con el método de los elementos finitos” Jorge Luis Restrepo. Revista Universidad EAFIT. Julio – Agosto – Septiembre de 1998.
  • Método de los elementos finitos. Preproceso y postproceso de los resultados”, Sergio Blanco. Transparencias de la asignatura MEF del Máster en Ingeniería de Estructuras, Cimentaciones y Materiales.
  • “Diseño industrial y desarrollo de productos. Módulo I. Sistemas de diseño asistido. Modelado simulación”, Maria del Mar Espinosa y Manuel Dominguez.
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